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ÁLGEBRA LINEAR II

Dada a matriz A =Â¿ $\displaystyle{\left[\matrix{{3}&{2}\\{3}&{4}}\right]}$ , calcule os autovalores da matriz A, logo em seguida marque a alternativa correta:

Â¿

λ 1= - 6 e λ 2 = 1.
λ 1 = - 1 e λ 2 = -2.
λ 1= 1 e λ 2 = 3.
λ 1= - 3 e λ 2 = 6.
λ 1 = 1 e λ 2 = 6.

Seja o operador linear de IR²Â¿definido por T(x, y) = (2x + 3y, x - y), indique a alternativa que determina as coordenadas do vetorÂ¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ $\displaystyle\epsilon$ Â¿IR²Â¿tal que T (Â¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ ) = (8, - 1).

x = - 1 e y = - 2.
x = - 1 e y = 2.
x = 0 e y = 2.
x =1 e y = - 2.
x =1 e y = 2.

Sabendo que o vetorÂ¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ =(4, 6, - 2) pode ser escrito como uma combinaÂ¿ linear,Â¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ = aÂ¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}{1}$ + bÂ¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}{2}$ + cÂ¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}{3}$ , tendo $\displaystyle{\vec{{v}}}{1}$ Â¿= (1, 2, - 1),Â¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}{2}$ Â¿= (1, - 1, 2) e

Â¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}{3}$ Â¿= (1, 3, -2);Â¿Â¿podermos Â¿concluir que Â¿orreto dizer:

O sistema é impossível, não admitindo soluções escalares para a, b e c.
O sistema é impossível e determinado, admitindo soluções escalares para a, b e c.
O sistema é possível e determinado, admitindo soluções escalares para a, b e c.
O sistema é possível e determinado, admitindo infinitas soluções escalares para a, b e c.
O sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções escalares para a, b e c.

ConsidereÂ¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1 = (2, 2, 0) eÂ¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2 = (1, 1, 1), sendo a transformaÂ¿ T: IR³ $\displaystyle\to$ IR³, de forma que T (x, y, z) = (x, y, 1), estÂ¿orretamente descrita na alternativa:Â¿

Em T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1) + T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2) =Â¿Â¿T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1Â¿+Â¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2), logo temos uma transformaÂ¿ Â¿linear.
Em T(a. $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1) + T(a. $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2)Â¿ $\displaystyle\ne$ Â¿T(a. $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1Â¿+a.Â¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2), logo temos uma transformaÂ¿ nÂ¿linear.
Em T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1) + T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2)Â¿ $\displaystyle\ne$ Â¿T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1 +Â¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2), logo temos uma transformaÂ¿ nÂ¿linear.
Em T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1) + T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2)Â¿ $\displaystyle\ne$ Â¿T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1Â¿+Â¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2), logo temos uma transformaÂ¿ Â¿linear.
Em T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1) + T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2)Â¿ $\displaystyle\to$ Â¿T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1Â¿+Â¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2), logo temos uma transformaÂ¿ nÂ¿linear.

Para uma transformaÂ¿ ser considerada linear deve satisfazer duas condiÂ¿s, sendoÂ¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1Â¿eÂ¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2,Â¿vetores eÂ¿aÂ¿Â¿(um nÂ¿mero real), que estÂ¿indicadas, a seguir:

T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1Â¿+Â¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2) = T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1) + T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 2).

T(aÂ¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1) = a .T( $\displaystyle{\vec{{u}}}$ 1).

Logo podemos concluir que uma transformaÂ¿ Â¿ou nÂ¿Â¿inear,sendo T (x, y, z) = (x1, Â¿y1, 2) entre os espaÂ¿ vetoriais: T: IR³Â¿ $\displaystyle\to$ IR³, satisfazendo as propriedades citadas, estÂ¿escrita em:Â¿

(x +x1, y + y1, - 4) e (a x1, a y1, 2- a), logo a transformação não pode ser linear por não satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.
(x +x1, y + y1, 4) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação pode ser linear por satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.
(x +x1, y + y1, 4) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação pode ser linear por não satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, não mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.
(x +x1, y + y1, 4) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação não pode ser linear por não satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.
(x +x1, y + y1, 2) e (a x1, a y1, 2a), logo a transformação pode ser linear por satisfazer a propriedade da soma entre os vetores, mantendo a característica do vetor indicado inicialmente.

Dado um espaÂ¿vetorial V, umÂ¿ subconjunto W, nÂ¿vazio, serÂ¿m subespaÂ¿vetorial de V se:

Â¿i) Para quaisquer vetores: $\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿,Â¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ Â¿ Â¿ ∈ W, tivermosÂ¿Â¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿Â¿Â¿+ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ Â¿ ∈ W.

Â¿ii) Para quaisquer a ∈ IR,Â¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿Â¿∈ W, tivermos a .Â¿ $\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿Â¿ ∈ W

Â¿ Identifique a alternativa que mostra se o subconjunto a seguir de R³Â¿pode ser considerado ou nÂ¿ um subespaÂ¿vetorial, justificado pelas propriedades e operaÂ¿s usuais:

W={(x, y, 4); com x, y e zÂ¿ $\displaystyle\epsilon$ Â¿IR.

$\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿= (x1, y1, 4) eÂ¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ = (x2, y2, 0). $\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿+Â¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ = (x1Â¿+ x2, y1Â¿+ y2, 4 + 0) =(x1 +Â¿x2, y1 + y2, 4) . Logo W nÂ¿Â¿onsiderado um subespaÂ¿vetorial.
$\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿= (x1, Â¿0, y1) eÂ¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ = (x2, 4, y2). $\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿+Â¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ = (x1Â¿+ x2, 0 + 4, y1Â¿+ y2)Â¿=(x1Â¿+Â¿x2, 0 + 4, y1Â¿+ y2) . Logo W nÂ¿Â¿onsiderado um subespaÂ¿vetorial.
$\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿= (x1, y1, 4) eÂ¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ = (x2, y2, 4). $\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿+Â¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ = (x1Â¿+ x2, 4 + 4, y1Â¿+ y2)Â¿=(x1Â¿+Â¿x2, 4 + 4, y1Â¿+ y2) . Logo W Â¿Â¿onsiderado um subespaÂ¿vetorial.
$\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿= (x1, Â¿4, y1) eÂ¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ = (x2, 4, y2). $\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿+Â¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ = (x1Â¿+ x2, 4 + 4, y1Â¿+ y2) =(x1 +Â¿x2, 4 + 4, y1 + y2) . Logo W nÂ¿Â¿onsiderado um subespaÂ¿vetorial.
$\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿= (x1, y1, 4) eÂ¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ = (x2, y2, 4). $\displaystyle{\vec{{u}}}$ Â¿+Â¿ $\displaystyle{\vec{{v}}}$ = (x1 + x2, y1 + y2, 4 + 4) =Â¿(x1 + x2, y1 + y2, 4 + 4). Logo W nÂ¿Â¿onsiderado um subespaÂ¿vetorial.Â¿ Â¿ Â¿ Â¿ Â¿

Multiplicando um vetor $\displaystyle{\vec{{u}}}$ ( x1 - 2, y1 + 4, z1 - 2) por um número real que chamamos de escalar, sendo esse escalar (- 1), podemos garantir o produto, no espaço tridimensional, em:

( x1 + 2, y1 - 4,z1 + 2)
( x1 + 2, y1 - 2, - z1 + 1)
( x1 - 2, y1 -+ 4, z1 - 2)
(- x1 + 2, - y1 - 4, - z1 + 2)
(- x1 + 2, y1 - 4, - z1 - 2)

Sabendo que os vetores $\displaystyle{\vec{{u}}}$ ( x + 1, 4, z) e $\displaystyle{\vec{{w}}}$ ( 5, 2y - 6, -10) são iguais, podemos garantir essa igualdade, no espaço tridimensional, quando:

x = -4, y = -5 e z = -10
x = 4, y = -5 e z = 10
x = -4, y = 5 e z = 10
x = 5, y = 4 e z = 10
x = 4, y = 5 e z = -10

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